最大的分数单位是什么(分数的最大单位为何？)

　　数学中的某些理论好像都是一个个散落的珍珠，能否把它们统一在一起，这正是我感兴趣的。

　　把一个单位分数拆分成几个单位分数之和，至少有如下两个不同的形式

　　1、分母裂项拆分基本公式之一1/n=(n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）

　　2、分母裂项拆分基本公式之二1/n=(n k1 k2 k3 … kn)/[n(n k1 k2 k3 … kn)]------（2）

　　（其中k1、k2、k3、…kn都是n的因数之一）

　　（以上基本数理来自于网络）

　　思考的起点图

　　许多的问题总会接连不断地浮现，总减肥人网希望能找出思考的头绪

　　1、它们的根源从何而来？

　　2、如何用最通俗的语言来描述？

　　3、每种数理包括哪些基本知识？

　　如何放在一个数理框架下进行讨论呢？

　　先看以下几个基本知识的概念

　　（1） 单位分数定义我们把分子是1、分母是自然数的分数叫单位分数，记成1/n。

　　（2） 真分数分子和分母都是正整数，分子小于分母的分数，它们都大于0而小于1。大于0而小于1的分数叫做真分数。

　　（3） 假分数分子和分母都是正整数，分子等于分母或分子大于分母的分数，它们等于1或大于1，等于1或大于1的分数叫作假分数。

　　（从单位分数概念中分析得出“1/1=1”是假分数，在真分数中1/2是最大的单位分数，所以下面的单位分数中分母都从2开始，只讨论真分数形式。）

　　（4） 分数基本运算方法（或法则）之一分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。

　　通过对上面的分数基本运算方法（或法则）进行分析，基本表达式如下

　　1/n=m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然数）)---------(3)

　　（即分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。）

　　接下来对(3)式进行变形

　　1、设m=n k, k∈N(自然数）其(3)式基本形式变化如下

　　1/n=(n k)/[n(n k)]=1/(n k) k/[n(n k)]-------（4）

　　1）设k=1时，（4）式就变成了如下形式

　　1/n=(n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）

　　这就是开头的分母裂项拆分的基本公式之一。

　　所以（1）式就是从（3）式中演绎出来的特例

　　（备注演绎推理是由一般到特殊的推理方法。）

　　演绎推理从一般表达式“1/n=m/(mn)”开始，先是对m分类（或限定），当满足“m=n k”条件时，再对k分类（或限定），当满足“k=1”这个条件时就成立了。

　　m=n 1只是“1/n=m/(mn)”表达式中，m取值的一个特例。

　　为什么要将m变成“m=n 1”呢？如何用最通俗的语言来描述？

　　再看下面几个基本知识的概念

　　1、 因数（或约数）与倍数定义设a,b是整数，b≠0。如果有一个整数C,它便得a＝bc,则a叫做b的倍数， b叫做a的因数。

　　单位分数的表达基本形式其分子只能是1.分子不为1时，则分子必定是分母的约数。

　　这就是对因数（或约数）知识点的运用。

　　例如因数（或约数）概念中c/a=c/bc=1/b. （b≠0，c≠0）那么“1/b”就是单位分数的表达基本形式。

　　2、 素数（或质数）与合数质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。（规定1既不是质数也不是合数）。

　　通过对上面素数（或质数）与合数的概念分析，我们知道对于任何自然数“1”和“它自身”都是这个自然数的约数。

　　对于任何自然数都有如下表达方式

　　n=n1（任何数乘以1都等于这个数本身）

　　m=n 1 则m刚好等于“n=n1”中“n的两个因数（或约数）n与1”的和。

　　思考结论单位分数拆分与这个数本身的因数（或约数）有关。n与1都是n的因数（或约数）。它们从素数（或质数）与合数的概念中得来。

　　当m=n 1时

　　1/n=(n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）

　　对（1）式举例说明。

　　例如

　　1/7=（1 7）/[7（7 1）]

　　=(7 1)/(78)

　　=1/8 1/56 (对（1）式运用一次,便将“单位分数1/7拆分成2个单位分数之和”)

　　=9/(89) 1/56

　　=(8 1)/(89) 1/56

　　=1/9 1/72 1/56

　　(对（1）式运用,便将“分数单位分数1/7拆分成3个单位分数之和”。

　　或者将1/56 拆分“=1/8 1/ (56 1)/[56(56 1)]=1/8 1/57 1/3192” )

　　……

　　由此可见用这种拆了又拆，不断递进的拆分方法，可以将任何一个单位分数拆分成N个单位分数之和。

　　即然m=n 1只是一种特例,有没有其它的特例呢?

　　显然合数的因数（或约数）就不只有”1”与”它本身’，就会产生新的拆分方式。

　　先看算术基本定理

　　算术基本定理定义

　　从算术基本定理定义中可以看出，就是讲合数的标准分解式。

　　例如:

　　10=25，2、5两个数都是素数。符合N 的标准分解式。

　　10=110，这种形式就“m=n 1”的形式，即满足表达式（1）

　　k至少可以选择1、2、5、10

　　由于“分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。”

　　其基本数理如下

　　1/n=m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然数）)---------(3)

　　当m=n k时

　　1/n=(n k)/[n(n k)]=1/(n k) k/[n(n k)]-------（4）

　　k取n的某个因数（或约数），如下

　　1、 当n=10，k=1时,

　　1/10=（10 1）/(1011)=1/11 1/110

　　2、 当n=10，k=2时

　　1/10=（10 2）/(1012)=1/12 1/60

　　3、 当n=10，k=5时

　　1/10=（10 5）/(1015)=1/15 1/30

　　4、 当n=10，k=10时（特殊情况）

　　1/10=（10 10）/(1020)=1/20 1/20

　　（这里便是两个分母一样，是常见的“一分为二”）

　　上面的是m=n k，m是n的基础上再加某个数k，k为n的某个因数（或约数）。

　　下面再看k的另一种情况

　　m=k，(这里的K不是一个数，而是与n有关的两个因数的和)

　　1、 当k=1 2,

　　1/10=（1 2）/(103)=1/30 1/15

　　2、 当k=1 5

　　1/10=（1 5）/(106)=1/60 1/12

　　3、 当K=2 5

　　1/10=（2 5）/(107)=1/35 1/14

　　以上便是“单位分数1/10拆分成2个单位分数之和”的几种情况。（仅供参考）

　　对于K的拓展就可以知道

　　m=k, (这里K不是一个数，而是与n有关的3个因数的和。)

　　1、 当k=1 2 5,

　　1/10=（1 2 5）/(108)=1/80 1/40 1/16

　　2、 当k=1 2 10

　　1/10=（1 2 10）/(1013)=1/130 1/65 1/13

　　3、 当K=1 5 10

　　1/10=（1 5 10）/(1016)=1/160 1/32 1/16

　　4、 当K=2 5 10

　　1/10=（2 5 10）/(1017)=1/170 1/34 1/17

　　以上便是“单位分数1/10拆分成3个单位分数之和”的几种情况。（仅供参考）

　　当K是n有关的4个因数的和时，显然有

　　当K=1 2 5 10

　　1/10=（1 2 5 10）/(1018)=1/180 1/90 1/36 1/18

　　思考结论单位分数拆分与这个数本身的因数（或约数）有关。只与的k取值有关，k是n的两个因数或多个因数之和。

　　基本数理是

　　分数计算法则之一分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。

　　基本表达式如下

　　1/n=m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然数）)---------(3)

　　(其中m=k,k是n的两个或多个因数（或约数）的和)

　　除了上面的这种方法以外,还有一种对m倍增的方法。（个人爱好，仅做思考拓展。）

　　基本数理是

　　分数计算法则之一分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。

　　具体表达式如下

　　1/n=m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然数）)---------(3)

　　m=ki, (第一个K1=K， K2=2^(2-1) K, K3=2^(3-1)K…ki=2^(i-1)k,其中k是n的两个或多个因数（或约数）的和)

　　例如

　　当n=7,k=1 7=8

　　1、 当K1=k=1 7=8时,（这里K1=k）

　　1/7=(1 7)/(78)=1/8 1/56

　　2、 当K2=2^(2-1)K=2 （1 7）=16时,（可以理解为K2是K1的2倍，是K的2倍）

　　1/7=(1 7 8)/(716)=1/112 1/16 1/14

　　3、 当K3=2^(3-1)K=2^2（1 7）=32时,（可以理解为K3是K2的2倍，是K的4倍）

　　1/7=(1 7 8 16)/(732)=1/224 1/32 1/28 1/14

　　4、 当K4=2^(4-1)K=2^2（1 7）=64时,（可以理解为K4是K3的2倍，是K的8倍）

　　1/7=(1 7 8 16 32)/(764)=1/448 1/64 1/56 1/28 1/14

　　……

　　先看完全数定义它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数”。 例如第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1 2 3=6。

　　用这种方法,对于单位分数中分母为“完全数”有如下拆分

　　当n=6,k=1 2 3

　　1、 当K1=k=1 2 3=6时

　　1/6=(1 2 3)/(66)=1/36 1/18 1/12

　　2、 当K2=2^(2-1)K=2 （1 2 3）=1 2 3 6=12时（其中K2是K1的2倍）

　　1/6=(1 2 3 6)/(612)=1/72 1/36 1/24 1/12

　　3、 当K3=2^(3-1)K=2^2(1 2 3)=1 2 3 6 12=24时（其中K3是K2的2倍）

　　1/6=(1 2 3 6 12)/(624)=1/144 1/72 1/48 1/24 1/12

　　4、 当K4=2^(4-1)K=2^3 (1 2 3)= (1 2 3 6 12 24)=48时（其中K4是K3的2倍）

　　1/6=(1 2 3 6 12 24)/(648)=1/288 1/144 1/96 1/48 1/24 1/12

　　......

　　如下:

　　单位分数拆分演绎图

　　如有不当之处，敬请斧正！

　　题外话

　　将分数拆分成几个单位分数之和的作用是什么？

　　仁者见仁，智者见智，每个人的理解可能都不一样。

　　例如有一个题把7个面包分给8个人，解答的形式是7/8=1/2 1/4 1/8.从式子中可以看出，应该把面包切成这样的几份把4个面包每个切成两份，2只面包都切成四份，一只面包切成8份。（摘抄于<数学简史>第25页）

　　本文中包括以下数学知识点

　　1、 分数分为三类真分数、假分数、带分数

　　1） 真分数分子和分母都是正整数，分子小于分母的分数，它们都大于0而小于1。大于0而小于1的分数叫做真分数。

　　2） 假分数分子和分母都是正整数，分子等于分母或分子大于分母的分数，它们等于1或大于1，等于1或大于1的分数叫作假分数。

　　3） 带分数整数后面带有分数叫做带分数。(可以当是假分数的另一种形式。)

　　2、 单位分数定义我们把分子是1、分母是自然数的分数叫单位分数，记成1/n。

　　3、 分母裂项拆分基本公式之一1/[n(n 1)]=(1/n)- [1/(n 1)]。

　　4、 分数计算法则之一分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。

　　5、 算术基本定理可表述为任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1P2^a2P3^a3......Pn^an，这里P1

　　6、 素数（或质数）与合数质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。（规定1既不是质数也不是合数）。

　　7、 因数（或约数）与倍数定义设a,b是整数，b≠0。如果有一个整数C,它便得a＝b C,则a叫做b的倍数， b叫做a的因数。

　　8、 完全数定义“完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数”。 例如第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1 2 3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1 2 4 7 14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1 2 4 8 16 31 62 124 248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。

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