等比数列求和(等比数列求和的三种方法)

第一种作差法Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) 　　qSn=a1q+a2q+a3q+...+anq 　　=a2+a3+a4+...+a(n+1) 　　Sn-qSn=a1-a(n+1) 　　(1-q)Sn=a1-a1q^n 　　Sn=(a1-a1q^n)/(1-q) 　　Sn=(a1-anq)/(1-q) 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 2、由等比数列定义 a2=a1q a3=a2q a(n-1)=a(n-2)q an=a(n-1)q 共n-1个等式两边分别相加得 a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]q 即 Sn-a1=(Sn-an)q,即（1-q）Sn=a1-anq 当q≠1时,Sn=(a1-anq)/（1-q） (n≥2) 当n=1时也成立.当q=1时Sn=na1 所以Sn= na1（q=1） ；(a1-anq)/（1-q） (q≠1)。3、数学归纳法证明（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；（2）假设当n=k（k≥1，k∈N）时，等式成立，即ak=a1qk-1；当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；这就是说，当n=k+1时，等式也成立；由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N都成立。